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이자율은 왜 흥미로운 비율(interest rate)인가? 자연 상수 e에 관한 이야기
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입력 : 2020.02.27

【경우1】 연 이자율이 5%라고 할 때, 은행에 1000원을 예금하면 1년 후에 얼마가 될까?  

   이 경우 원금에 이자를 더해 받아야 하므로, 아래의 식에 의해서 1050원을 받게 된다.
   받을 돈= 원금 + (원금×이자율)
          = 원금 × (1+이자율)
          = 1000원 × (1+0.05) = 1050원
   
 【경우2】 연 이자율 5%를 4분기로 분할하여 복리(複利: 원금에 이자를 더해가며 이율을 적용하는 금리 계산법)로 약정하면 어떨까?
 4분기로 분할하는 방식은, 기간을 4등분하고 이자율도 4등분하여 적용하는 것이다.
 따라서 1년에 4회 이자가 붙되, 이자율도 4등분하여 0.05∕4를 적용한다.
 이를 수식으로 쓰면,
 받을 돈=1000 × (1+0.05∕4) × (1+0.05∕4) × (1+0.05∕4) × (1+0.05∕4) =1050.945원
 ……(ⅰ)
 따라서 150.945원이 되어 [경우1]보다 더 많은 돈을 받게 된다.
 
 [경우1]에서는 1000원이 1050원이 되었으므로 연 이자율 5%가 분명하다. 그런데 [경우2]에서는 1000원이 1050.945원으로 늘어났으니, 이자율이 5.0945%로 둔갑한 셈이다. 금융업에서는 이러한 차이를 구분하기 위해서 연 이자율 5%를 ‘명목 이자율’, 5.0945%를 ‘실효 이자율’이라고 부른다.
 【경우3】 연 이자율을 1일 또는 1분 또는 1초 단위로 분할하여 적용하면 어떻게 될까? 이자가 어마어마하게 붙을까?
 (ⅰ)식을 간략히 쓰면, 받을 돈 = 1000 × (1 + 0.05∕4)⁴이다.
 이를 일반화된 식으로 쓰면,
 [ 받을 돈 = 원금 × (1 + 이자율/n)ⁿ ] ……(ⅱ)
 (ⅱ)식에서 n은 몇 등분하는지를 나타내는 값이다. 1년을 4등분하면 n=4를 대입하고, 1년을 365등분하면 n=365를 대입해야 각각 1년 후 받을 돈이 산출된다.
 1초 단위로 이자가 붙는 것으로 셈을 하는 경우에는, 1년이 3,153,600초에 해당하므로 (2)식에 n=3153600을 넣어 계산하면 된다.(윤년은 제외하고 1년을 365일로 잡은 경우)
  [ 받을 돈 = 원금 × (1 + 이자율/n)ⁿ ]
= 1000원 × (1+0.05∕3153600)3153600
≒1051.271원
 
 1000원을 예금하여 초당 분할 이자율을 적용하면 1년 후에 1051.271원이 되니, 실효 이자율이 5.1271%가 되었다. 이러한 차이로 인해 세월이 오래 흐르면 받을 돈은 꽤 차이가 나게 된다.
【경우4】 1000원을 예금한 후 잊고 살다가 236년 후에 생각이 나서 돈을 받는 것으로 가정해 보자. 받을 액수는 얼마가 될까? 이 경우, (ⅱ)식의 승수에 년 수를 곱해서 받을 돈을 계산하면 된다.
 즉,  받을 돈 = 원금 × (1 + 이자율∕n)ⁿ×년수 ……(ⅲ)
 (ⅲ)식에 따라서 원금 1000원에 연 이자율 5% 복리 이자를 적용하여 236년이 지나면 적어도 1억 원 이상의 목돈이 된다. n값에 따라서 표와 같이 다양한 액수가 될 수 있다.

 

명목 이자율 5% 복리 예금

(원금 1000)

236년 후 받을 돈

적용 n

연 이자율 적용

1155449

n=1

분기당 이자율 적용

123854018

n=4

월당 이자율 적용

1325354

n=12

일당 이자율 적용

133144709

n=365

분당 이자율 적용

133252278

n=525600

초당 이자율 적용

133252348

n=3153600

 


 연 이자율을 적용하면 약 1억 15만 원이 되고, 분기당 이자율을 적용하면 1억 2천 385만 원이 넘는다. 그런데 일당 이자율을 적용하면 1억 3천 314만 원이고, 분당이나 초당 이자율을 적용하면 1억 3천 325만 원 남짓한 액수에 도달하게 된다.
 그런데 천분의 1초나 만분의 1초 단위로 쪼개어 이자율을 적용하더라도 액수는 거의 늘어나지 않는다. 왜 그럴까?
 이는 이자율 공식에 들어 있는 (1 + 1∕n)ⁿ 함수가 특정한 값 이상으로 증가할 수 없는 오묘한 원리의 지배를 받기 때문이다.
 (1 + 1∕n)ⁿ 식에 n=∞(무한)을 넣으면 어떨까? 매순간마다 이자가 붙는 것으로 가정하는 것이다. 그러나 ∞(무한)을 수식에 바로 적용할 수는 없다. 무한은 숫자가 아니기 때문이다.
 대신 ‘무한에 한없이 가까워지는 숫자’를 넣을 수는 있다. 이러한 개념을 표현하기 위해 만들어진 것이 극한(極限, limit, 리미트)이다.
  n이 무한(∞)에 한없이 가까워질 때 (1 + 1∕n)ⁿ 의 값이 e라면, 극한 식은 다음과 같이 표현된다.

 (iv)식.jpg ……(ⅳ)
  여기서 e의 값은 무리수로 2.7182818284590452353602874… 끝나지 않는 숫자이다.
【경우5】 (ⅲ)식과 (ⅳ)식을 이용하여 매순간 이자가 붙는 복리 방식을 적용해 보자.
   ‘매순간’이라는 개념 때문에 극한 공식을 적용해야 하므로,
(v)식.jpg……(ⅴ)
 
 (ⅳ)식을 이용하여 (ⅴ)식을 정리1)하면, 다음과 같은 식이 된다.
  받을 돈 = 원금 × e이자율×년수……(ⅵ)
 1) (ⅴ)식이 (ⅵ)식으로 변환되는 과정은 다음과 같다.

변환-과정식.jpg


 (ⅵ)식에 원금 1000원, 이자율 5%, 년 수에 236을 대입하면 약 1억 3천 325만 2353원이 된다. 이 액수가 한계치이다. 즉, 매순간 이자가 붙는다고 가정해도 특정한 값에 수렴한다. 이자율은 영어로 ‘흥미로운 비율(interest rate)’이다.
 e는 자연 현상과 밀접한 관계가 있는 특별한 숫자이기 때문에 ‘자연 상수’라고 불린다. 자연 상수 e는 이자율뿐만 아니라 물체가 냉각될 때 온도가 내려가는 비율, 방사성 물질이 붕괴할 때 질량이 줄어드는 비율, 빛이 물질을 통과할 때 빛의 세기가 감소하는 비율, 폭발력이 확산되는 비율 등 다양한 자연 현상과 연관이 있다.
신규진 경성고 과학교사 《너무 재밌어서 잠못드는 지구의 과학》 저자
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