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허박사의 슬기로운 연구생활
공학박사 취득 후 한 사기업에서 연구원으로 일하고 있는 80년대생 허용강입니다. 정보의 진실을 가리고 가치를 부여하는 일에 관심이 많습니다. 디스토피아와 유토피아 미래관이 혼재돼 있는 오늘을 슬기롭게 살아가기 위한 '공학적 사고'를 이야기해보려 합니다.
[2-3] 공학 맛보기 사칙연산과 공간
입력 : 2022.01.18
조선DB

이번 글부터는 수학의 연산에 대한 이야기가 시작됩니다. 사칙연산, 미적분, 벡터, 통계와 확률, 내삽과 외삽까지 해당 연산들은 우리가 살고 있는 현실 공간에서 어떤 의미들을 가지고 있는지 알아볼 예정입니다.

이외에도 전자기학이나 양자역학과 같은 근래에 들어 발전한 현대물리학에서 사용하는 연산들이 있지만, 일상생활에서는 위에 열거된 고전물리학 범주의 연산 정도만(?) 이해해도 충분하리라 생각합니다. 비록, 어려운 내용에 제가 설명이 부족하여 쉽게 이해되지 않더라도, 천천히 읽다보면 세상을 보는 또 다른 관점을 이해하시리라 기대합니다.

 

사칙연산의 기본

사칙연산(Four Fundamental Rules of Arithmetic Operations)은 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈 네 가지의 셈을 일컫습니다. 일상생활에 가장 흔하게 사용하는 연산이며, 제일 기본이 되는 연산입니다. 이미 잘 알고 있을 내용이지만, 사칙연산의 기본 의미를 짚겠습니다.

덧셈은 기호 + (Plus)를 사용하며, 기호 앞의 수를 기준으로 기호 뒤의 수만큼 증가함을 의미합니다. 뺄셈은 기호 – (Minus)를 사용하며, 기호 앞의 수를 기준으로 기호 뒤의 수만큼 감소함을 의미합니다. 곱셈은 기호 × (Multiply)를 사용하며, 기호 앞의 수가 기호 뒤의 수번만큼 증가함을 의미합니다. 나눗셈은 기호 ÷ (Divide)를 사용하며, 기호 앞의 수에 기호 뒤의 수번만큼 감소함을 의미합니다.

여기서 수의 증가를 의미하는 덧셈과 곱셈은 기호를 기준으로 수의 위치가 바뀌어도 결과값은 변하지 않습니다. 하지만, 수의 감소를 의미하는 뺄셈과 나눗셈은 기호를 기준으로 수의 위치가 바뀌면 결과값이 변합니다.    

   

기호 

의미 

교환 

+  

Plus  

기호 앞의 수를 기준으로 기호 뒤의 수만큼증가 

동일 

-  

Minus  

기호 앞의 수를 기준으로 기호 뒤의 수만큼감소 

다름 

× 

Multiply  

기호 앞의 수가 기호 뒤의 수번만큼증가 

동일 

÷ 

Divide  

기호 앞의 수에 기호 뒤의 수번만큼감소 

다름 

1. 사칙연산의 기본 

 

동일 차원(단위)내에서의 이동 : +, -   

사칙연산중에서도 덧셈과 뺄셈이 기본 중에 기본입니다. “객관화 대표 도구들. 숫자와 단위” 편에서 언급한 수 체계와 그 수의 증가와 감소가 곧 그 의미입니다. 수학에서도 매우 중요하지만, 물리와 공학, 그리고 더 나아가 실 생활에서 사용하기 위해 더 중요하게 봐야 할 항목은 역시 동일 편에서 언급한 “기본 단위”입니다. [1] 빠른 이해를 위해, 예시부터 보겠습니다.  

 

예시 

덧셈 

뺄셈 

계산 1  

10 + 10 = 20  

10 - 10 = 0  

계산 2  

10 meter + 10 meter = 20 meter  

10 meter - 10 meter = 0 meter  

계산 3  

10 meter + 10 second 20  

10 meter - 10 second 20  

2. 덧셈과 뺄셈 예시 

 

계산 1의 셈은 단위가 없는 숫자만의 셈을 보여주며, + 기호 앞의 숫자 10을 기준으로 뒤의 숫자 10 만큼 증가한 20을 보여줍니다. 계산 2는 셈의 대상인 수에 “meter”라는 단위가 붙었고, 10 meter와 10 meter의 합이 20 meter임을 보여줍니다. 하지만, 계산 3은 수에 붙은 단위가 다르기에 계산 1과 2와 같은 20이라는 결과를 낼 수 없음을 보여줍니다. 즉, 표 2의 예시 계산에서 보여주는 의미는 수 뒤에 붙는 단위에 따른 덧셈과 뺄셈의 성립 유무입니다.

계산 2와 3에서 표기한 단위는 '함수 맛보기' 편에서 언급한 직교 좌표의 한 축(Axis)에서 증감을 나타낼 수 있는 하나의 차원(Dimension)입니다. 즉, 한 축이란 동일선상에 놓인 숫자는 기정된 물리 단위의 크기를 의미합니다. 그리고, 가장 기본이 되는 단위가 '객관화 대표 도구들. 숫자와 단위' 편에서 언급한 7종의 국제 단위계입니다.[2]

 

차원(단위)의 이동 : ×, ÷  

이미 많은 분들이 알고 계시겠지만, 물리 단위는 7개외에도 엄청 많습니다. 표 1에 기재된 곱셈과 나눗셈은 하나의 축에서의 증감을 의미합니다. 즉, 연산을 하는 대상 숫자에 물리 단위가 부여 되지 않는다면, 뒷 숫자 “횟수”만큼의 증감을 의미합니다. 하지만, 물리 단위가 부여된다면 단순히 숫자나 동일선상에서의 증감을 의미하지 않습니다. 곱셈과 나눗셈에 의해 연산되는 단위는 표 3과 4와 같이 의미가 변화합니다. 이처럼 기본 7개의 단위외 존재하는 단위의 기본은 곱셈과 나눗셈에 의한 차원의 생성과 소멸에 기인합니다.

 

1 단위 

2 단위 

결과 단위 

의미 

meter  

meter  

meter2 

면적 

meter2 

meter  

meter3 

부피 

ampere  

ohm  

volt  

전압 

kilo-gram  

meter/second2 

newton  

 

3. 단위 곱셈에 따른, 결과 단위와 의미 

 

1 단위 

2 단위 

결과 단위 

의미 

meter  

second  

meter/second  

속도 

meter/second  

second  

meter/second2 

가속도 

kilo-gram  

meter3 

kilo-gram /meter3 

밀도 

Joule  

Celsius  

Joule/Celsius  

열용량 

4. 단위 나눗셈에 따른, 결과 단위와 의미 

 

사칙연산 짚어가기

제가 생각하는 실생활에서 유용하게 사용할 수 있는 사칙연산의 핵심은 곱셈 = 누적”, “나눗셈 = 변화의 크기입니다. 단위는 직교좌표에서 하나의 축에 표기가 됩니다. 그리고, 두 축의 곱은 그 축에 해당하는 값의 수평 연장선에 가두어진 크기를 의미합니다. 반대로 두 축의 나눗셈은 기호 뒤의 축에 해당하는 1크기에 해당하는 기호 앞의 축의 값의 비율을 의미합니다. 중요한 사실은 단위 곱셈과 나눗셈 연산에 나오는 숫자의 값이 아닌, 단위에 있습니다.

34에는 물리에서 흔히 사용하는 단위들과 의미를 표기했습니다. 이처럼 직교좌표에 그려진 그래프의 선과 그 선에 해당되는 면적이나 변화에 의미가 있다면 이는 물리적 의미를 가진 하나의 법칙과 같은 경향성을 찾아볼 수 있습니다 

[2-4] 그림1.png 

그림 1. 축 단위 길이의 곱셈과 나눗셈, 면적과 부피 

 

하지만 모든 그래프가 물리적 의미를 가지고 있지 않습니다. 대부분은 물리적 의미를 찾기 위한 현상에 지나지 않는 형태가 많습니다.

대표적인 예가 그림2와 같은 일정한 시간(x축)에 따른 주식(y축)의 변화를 체크한 그래프들입니다. 두 축의 곱셈의 단위는 '원·시간'이고, 나눗셈의 단위는 '원/시간'입니다. 이런 단위는 아마 보신적도 없으실겁니다.

굳이 해석하자면, 곱셈이 의미하는 면적은 시간동안 거래한 주식 금액이 될테고, 나눗셈이 의미하는 변화는 상승 혹은 하락을 의미하는 정도가 될 겁니다. 이 주식그래프의 단위들과 해석이 물리적인 의미를 가질 수 있을까요?

 

[2-4] 그림2.jpg

그림 2. 주식그래프 (코스피 2012~2022) 

    

[1]허용강, [공학 맛보기] 객관화 대표 도구들. 숫자와 단위, Topp, 2021.  

[2] 허용강, [공학 맛보기] 함수의 논리, Topp, 2021.   

 

허용강 박사
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